Question

如图，在边长为a的正方形中，E、F分别为边BC和CD上的动点，当点E和点F运动时， AE和EF保持垂直。则①△ABE∽△FCE;②当BE=a时、梯形ABCF的面积最大；③当点E运动到BC中点时Rt ABE∽Rt△AEF;④当Rt ABE∽Rt△AEF时cos∠AFE=其中正确结论的序号是   ．

Answer

①②③

【解析】①证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=90°，

又∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，故①正确

② 解 ：∵Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴AB：EC=BE：CF，

又∵AB=a，设BE=x，则CE=a﹣x，

∴a：（a﹣x）=x：CF，

∴CF=，

∴

∴当时，取得最大值。故②正确

③当点E运动到BC中点时，BE=EC=

在直角三角形ABE中，由勾股定理解得

又由Rt△ABE∽Rt△ECF可知

即

解得CF=，EF=

所以在直角三角形AEF中，由勾股定理得

在直角三角形ABE和直角三角形AEF中，

∴Rt ABE与Rt△AEF相似。故③正确

④由③可知当Rt ABE∽Rt△AEF时,点E是BC的中点

∴

∴。故④错误

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形