Question

（8分）画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．

（2）在所画图中，

①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．

②求证：△CDF为等腰直角三角形

Answer

【解析】
（1）根据题意要求：画∠AOB的平分线OP，作线段CD的垂直平分线EF；

（2）①OE=CD．

理由：∵∠AOB=90°，E是CD的中点，

∴OE=CD.

②过点F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分别为M、N．

∵OP是∠AOB的平分线，

∴FM=FN．

又EF是CD的垂直平分线，

∴FC=FD．

∴Rt△CFM≌Rt△DFN，∠CFM=∠DFN．

在四边形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，

∴∠CFD=∠CFM+∠MFD= ∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，

∴△CDF为等腰直角三角形．

【解析】

试题分析：（1）根据题意，作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF；（2）①由题意，OE是直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形的性质直接得到OE=CD；②△CDF为等腰直角三角形，由EF是垂直平分线容易得到△CDF是等腰三角形，要证明直角三角形比较麻烦，要充分利用△ODE，△OEC是等腰三角形的等角的作用，还有三角形外角的有关结论才能证明．

考点：等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．