Question

如图，已知抛物线的对称轴为直线：且与轴交于点与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以为直径作⊙,过点作直线与⊙相切于点，交轴于点，求直线的解析式．

Answer

【解析】
（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：

∵抛物线经过、.

∴

解得：a=，.

∴，

即：.

（2）存在.

令， 得

即，

抛物线与轴的另－交点.

如本题图2，连接交于点，则点即是使的值最小的点.

因为关于对称，则,,即的最小值为.

∵,

的最小值为；

（3）如图3，连接，∵是⊙的切线,

∴,

由题意，得

∵在中,

，

∴，

,

设，则,

则在△中，又，

∴,解得，

∴（，0）

设直线的解析式为，∵直线过（0，2）、（，0）两点，

，解方程组得：.

∴直线的解析式为.

【解析】

试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为，将、代入解析式，即可求出a，k的值，得出抛物线的解析式，令，即可求出抛物线与轴另－交点；（2）连接交于点，则点即是使的值最小的点. 则的最小值为，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求出BC的值；（3）连接，根据已知条件可得，根据全等三角形的对应边相等可得，在△中，根据勾股定理求出OD，即可得出D点坐标，设直线的解析式为，代入C，D两点坐标，即可解得直线的解析式.

考点：二次函数的综合题.