Question

如图，在△中，，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，⊙是△的外接圆．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）过点作于点，求证：．

Answer

【解析】
（1）证明：连结．

∵ ∴BF是⊙的直径

∵平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE．

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB,

∴∠CBE＝∠OEB．∴OE∥BC．

,∴∠OEA＝∠C＝90°,

∴OE⊥AC, ∴AC是⊙O的切线．

连结DE．

∵∠OBE＝∠CBE，∴＝,

∴DE＝EF．

∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EH⊥AB，

∴EC＝EH．

又∵∠C＝∠EHF＝90°，DE＝EF，

∴Rt△≌ Rt△．

∴．

【解析】

试题分析：（1）连接OE，根据BE平分∠ABC，，可得∠CBE=∠OBE；由OB=OE，可得∠OBE=∠OEB，等量代换得∠OEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；根据∠C=90°，可得∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连结DE，根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．

考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质．