Question

如图．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A′，B′，C′，D′．

（1）求证：A′A+C′C=B′B+D′D；

（2）如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些（如l过A，或l交AB，BC等），那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明；

（3）如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系（如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA'，BB'，CC'，DD'只保持平行等），那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）连接AB、CD交点为O，利用梯形中位线定理可证．

（2）连接AB、CD交点为O，利用梯形中位线定理和三角形中位线定理可证．

（3）连接AB、CD交点为O，利用梯形中位线定理可证．

（1）证明：连接AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥l，

在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

则点O为AC、BD的中点，

∴OE分别为梯形AA′C′C，梯形BB′D′D的中位线，

则在梯形AA′C′C中，OE=（AA′+CC′），

在梯形BB′D′D中，OE=（BB′+DD′），

∴A′A+C′C=B′B+D′D；

（2）【解析】
上述结论仍然成立．

如下图，连接AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥l，

在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

则点O为AC、BD的中点，

∴OE分别为梯形DD′BB′，三角形ACC′的中位线，

∴OE=（AA′+CC′），OE=（BB′+DD′），

∴A′A+C′C=B′B+D′D；

（3）【解析】
如平行四边形变成某一中心对称图形时，上述结论仍然成立．

如下图，连接AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥l，

在正六边形中，对角线AC、BD相交于点O，

则点O为AC、BD的中点，

∴OE分别为梯形DD′BB′，梯形AA′CC′的中位线，

∴OE=（AA′+CC′），OE=（BB′+DD′），

∴A′A+C′C=B′B+D′D．