Question

（本题满分10分）如图，在中，，，．点、都是斜边上的动点，点从向运动（不与点重合），点从向运动，．点、分别是点、以、为对称中心的对称点，于，交于点．当点到达顶点时，、同时停止运动．设的长为，的面积为．

（1）求证：∽；

（2）求关于的函数解析式；

（3）当为何值时，为等腰三角形?

Answer

（1）证明有两组角对应相等，过程略；（2）；

（3）或或或

【解析】

试题分析：（1）由点对称可得，再加上和，即可利用两组角对应相等得到两个三角形相似；（2）要求的面积，需求得和，根据相似三角形的相似比，可得，而要求，需分类讨论，临界点为，所以分成和分别求解，最后写成分段函数即可；（3）同（2），仍需要分成和分别讨论，而在每一种情况下还需要对等腰三角形哪两边相等进行分类讨论.

试题解析：（1）、关于点成中心对称， ，

∽

（2）①如图，当时，，由相似得

此时

②如图，当时，，由相似得

此时

关于的函数解析式为.

（3）①如图，当时，

Ⅰ）若，由相似得，又， ；

Ⅱ），显然、不可能；

②如图，当时，

Ⅰ）若，由相似得，又， ；

Ⅱ）若，此时点、分别与、重合，；

Ⅲ）若，则∽，，，

综上，当或或或时，是等腰三角形.

考点：1.相似三角形的判定及性质；2.点对称的性质；3. 分类讨论.