Question

（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．

（1）求证：△CPA∽△APB；

（2）试求tan∠PCB的值．

Answer

（1）见解析 （2）2.

【解析】

试题分析：（1）根据∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根据已知条件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根据等腰直角三角形的性质得出CA和AB的比值，设CP=k，则PB=2k，然后根据∠BPC=90°求出∠PCB的正切值.

试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，

又在△APB中，∠APB=135°， ∴∠PBA+∠PAB=45°， ∴∠PAC=∠PBA，

又∠APB=∠APC， ∴△CPA∽△APB．

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴， 又∵△CPA∽△APB， ∴，

令CP=k，则，

又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°， ∴．

考点：三角形相似的判定、锐角三角函数的计算.