Question

（本题9分）如图，对称轴为x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式；

（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） （2）见解析

【解析】

试题分析：（1）理由待定系数法进行求解，将解析式设为顶点式，然后计算；（2）根据四边形的面积求出点E的坐标，然后分别进行判断；（3）根据正方形的性质求出点E的坐标，然后进行说明.

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=．

把A、B两点坐标代入上式，得 解得．

所以抛物线的解析式为.

（2）因为点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合抛物线的解析式，

所以y<0，即-y>0，-y表示点E到OA的距离．

因为OA是平行四边形OEAF的对角线，所以S=2=－6y=－4

因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6．

①依题意，当S=24时，即－4=24，解得=3，=4.

所以点E的坐标为（3，-4）或（4，-4）．

E（3，-4）满足OE=AE，所以四边形OEAF是菱形；

E（4，-4）不满足OE=AE，所以四边形OEAF不是菱形．

②当OA⊥EF，且OA=EF时，四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，-3），而点（3，-3）不在抛物线上，故不存在这样的点E，使四边形OEAF是正方形．

考点：待定系数法求二次函数的解析式、菱形与正方形的性质.