Question

如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，画∠MAB、∠NBA的平分线交于E，按下列要求回答：

（1）∠AEB是什么角？并说明理由。

（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？

（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由

Answer

∠AEB为直角；理由见解析；（2）ED=EC；（3）AD+BC=AB．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出∠1+∠3=90°，再由三角形内角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的结论；

（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系；

（3）由（2）中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值总为一定值．

试题解析：（1）∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠ABN=180°，

又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，

∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，

∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，

即∠AEB为直角；

（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，

∵AM∥BN，EF∥BC，

∴EF∥AD∥BC，

∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，

∵∠3=∠4，∠1=∠2，

∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，

∴AF=FE=FB，

∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，

根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，

∴ED=EC；

（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，

总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．

考点：1.梯形中位线定理；2.平行线的性质；3.三角形内角和定理；4.等腰三角形的性质．