Question

已知关于的一元二次方程(a+c)x²+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer

（1）△ABC是等腰三角形；理由见解析；（2）△ABC是直角三角形；理由见解析； （3）x1=0，x2=-1．

【解析】

试题分析：（1）直接将x=-1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=-1是方程的根，

∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，

∴a+c-2b+a-c=0，

∴a-b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，

∴4b2-4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，

∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=-1．

考点：一元二次方程的应用．