Question

（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC．

（1）求∠ACB的度数；

（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Answer

（1）120°；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD=AC，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而求得∠ACB的度数．

（2）通过△ACD≌△BCF求得∠AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=12，由于∠A=30°得出BF=AB，然后依据勾股定理求得BF的长，即可求得三角形的面积．

试题解析：（1）连接CD，

∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵CF=AC，CF=CE，∴AE=CE，∴ED=AC=EC，∴ED=EC=CD，∴∠ECD=60°，∴∠A=30°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°；

（2）∵∠A=30°，AC=BC，∴∠ABC=30°，∴∠BCF=60°，在△ACD与△BCF中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCF=90°，CD=CF，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴∠ADC=∠BFC，∵CD⊥AB，∴CF⊥BF，∵AC=8，CF=AC，∴CF=4，∴AF=12，∵∠AFB=90°，∠A=30°，∴BF=AB，设BF=x，则AB=2x，∵，∴，解得：，即BF=，∴△ABF的面积=AF·BF==，

考点：切线的性质．