Question

（本小题满分8分）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的 长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， 然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条 直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平 移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）

Answer

（1）BF=CG （2）DE+DF=CG （3）成立

【解析】

试题分析：（1）证明△ABF和△ACG全等就可以得出答案；（2）证明△FDC和△HCD全等就可以得出答案；（3）同（2）.

试题解析：（1）BF=CG； 证明：在△ABF和△ACG中，

∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，

∴△ABF≌△ACG（AAS）， ∴BF=CG；

（2）DE+DF=CG；

证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图）

∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，

∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，

∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS），

∴DF=CH， ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；

（3）仍然成立。

考点：三角形全等的证明与性质.