Question

（12分）如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的一边与直线CD交于E，分别过B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G.

（1）当点E在DC延长线上时，如图①，求证：BF = DG一FG；

（2）将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③，此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论（不必证明）.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）图2中，BF=DG+FG，图3中，BF=FG－DG．

【解析】

试题分析：（1）证明△ABF≌△DAG即可得出结论；

（2）类似地，可以得到图2中，BF=DG+FG，图3中，BF=FG－DG.

试题解析：

（1）∵ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠DAG+∠BAG=90°，∵BF⊥AE，DG⊥AF，∴∠AFB=∠AGD=90°，∴∠ABF+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠ABF，在△ABF和△DAG中，∵∠ABF=∠DAG，∠AFB=∠DGA=90°，AB=AD，∴△ABF≌△DAG，∴AF=DG，BF=AG，∴BF=AG=AF－FG=DG－FG；

（2）图2中，BF=DG+FG，理由如下：

由（1）可知：△ABF≌△DAG，∴BF=AG，AF=DG，∴BF=AG=AF+FG=DG+FG；

图3中，BF=FG－DG．理由如下：

∵ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，ANB=AD，∴∠FAB+∠DAG=90°，∵BF⊥EF，DG⊥EF，∴∠BFA=∠AGD=90°，∠FBA+∠BAF=90°，∴∠FBA=∠GAD，在△FBA和△GAD中，∵∠FBA=∠GAD，∠BFA=∠AGD，AB=AD，∴△FBA≌△GAD，∴BF=AG，FA=GD，∴BF=AG=FG－FA= FG－GD．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．