Question

某公司投资700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品的生产加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理,设甲种产品的销售单价为x（元）,年销售量为y（万件）.当35≤x≤50时,y与x之间的函数关系式为y=20－0.2x;当50≤x≤70时,y与x之间的函数关系如图所示.乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元.

（1）当50≤x≤70时,求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数解析式.

（2）若该公司第一年的年销售利润（年销售利润=年销售收入－生产成本）为W（万元）,那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少?

（3）第二年公司可重新对产品进行定价,在（2）的条件下,并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和－投资成本）不低于85万元.请求出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围.

Answer

（1）y=－0.1x+15（2）415万元（3）30≤m≤40

【解析】

试题分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），然后把点（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解；

（2）先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解；

（3）用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可．

试题解析：（1）设当50≤x≤70时,y与x的函数关系式为y=kx+b.把（50,10）,（70,8）代入得

解得

∴当50≤x≤70时,y与x的函数解析式为y=－0.1x+15.

（2）①依题意知:25≤90－ x≤45,即45≤x≤65.

当45≤x≤50时,W=（x－30）（20－0.2x）+10（90－x－20）=－0.2x2+16x+100=－0.2（x－40）2+420.

由函数的性质知,当x=45时,W最大值为415.

当50≤x≤65时,

W=（x－30）（－0.1x+15）+10（90－x－20）=－0.1x2+8x+250=－0.1（x－40）2+410.

由函数的性质知,当x=50时,W最大值为400.

综上所述,当x=45时,即甲、乙两种产品的销售单价均定在45元时,可使第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元.

（3）30≤m≤40.

由题意,令W=－0.1x2+8x+250+415－700≥8整理,得x2－80x+120≤0,

解得20≤x≤60

∵50≤x≤65,根据函数的性质分析,50≤x≤60

即50≤90－m≤60.

故30≤m≤40.

考点：待定系数法，二次函数的性质，不等式的解集