Question

如图,AB是☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,E是☉O上一点,D是AM上一点,连接DE并延长交BN于点C,且OD∥BE,OF∥BN.

（1）求证:DE是☉O的切线.

（2）求证:OF ＝CD.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）连接OE，由AM与⊙O相切，利用切线的性质得到OA与AM垂直，即∠OAD=90°，根据

OD∥BE，利用两直线平行的性质得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE，OD为公共边，利用SAS得出△AOD≌△EOD，利用全等三角形的性质：对应角相等得到∠OED=90°，即OE⊥ED，即可得证；

（2）连接OC，由CD与CB为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC为公共边，利用HL得出两直角三角形全等，进而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代换及平角定义得到∠COD=90°，即△COD为直角三角形，由OF∥BN，AM∥BN，得到三线平行，由O为AB的中点，利用平行线等分线段定理得到F为CD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．

试题解析：（1）连接OE,AM是☉O的切线,OA是☉O的半径,

∴∠DAO=90°,

∵OD∥BE,

∴∠AOD=∠OBE,∠DOE=∠OEB,

∵OB=OE,

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠AOD=∠DOE.

在△AOD和△DOE中

∴△AOD≌△EOD,

∴∠DAO=∠DEO=90°,

∴DE与☉O相切.

（2）∵AM和BN是☉O的两切线,

∴MA⊥AB,NB⊥AB,

∴AD∥BC,

∵O是AB的中点,OF∥BN,

∴OF∥AD且OF=（AD+BC）.

∵DE切☉O于点E,

∴DA=DE,CB=CE,

∴DC=AD+CB,

∴OF=CD.

考点：切线的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线等分线段定理