Question

（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）求AC、BC的长；

（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）AC=8cm BC=6cm （2）y= （3）见解析 （4）16

【解析】

试题分析：（1）设AC=4x，BC=3x，根据勾股定理进行求解；（2）分两种情况来进行讨论，分别求出函数解析式；（3）利用三角形相似的条件来进行计算；（4）利用轴对称的性质来进行计算.

试题解析：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即：（4x）²+（3x）²=10²，

解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①、∵△QHB∽△ACB， ∴，

∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x²+8x（0＜x≤3），

②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=（14-x），

∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x²-x+42（3＜x＜7）；

∴y与x的函数关系式为：y=；

（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，

即：，解得：x=，PQ=，∴PB=10-x=，∴，

∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；

（4）存在，理由：∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位线，

∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，

∴△BCM的周长最小值为16。

考点：三角形相似的应用、勾股定理、二次函数的实际应用