Question

如图，已知抛物线（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（－1，0）．

（1）b=       ，点B的横坐标为        （上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有    个．

Answer

（1） +c，-2c；（2） y=x2-x-2；;（3） +c，-2c；11．

【解析】

试题分析：（1）将A（-1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出-1•xB=，即xB=-2c；

（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1-2c，1-c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=-x+c，求出c=-2，进而得到抛物线的解析式为y=x2-x-2；

（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x2-x-2），则点F坐标为（x，x-2），PF=PG-GF=-x2+2x，S=PF•OB=-x2+4x=-（x-2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC=，得出满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=-x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（-1，0），

∴0=×（-1）2+b×（-1）+c，

∴b=+c，

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧），

∴-1与xB是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，

∴-1•xB=，

∴xB=-2c，即点B的横坐标为-2c；

（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，

∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．

设直线BC的解析式为y=kx+c，

∵B（-2c，0），

∴-2kc+c=0，

∵c≠0，

∴k=，

∴直线BC的解析式为y=x+c．

∵AE∥BC，

∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，

∵点A的坐标为（-1，0），

∴×（-1）+m=0，解得m=，

∴直线AE得到解析式为y=x+．

由，解得，，

∴点E坐标为（1-2c，1-c）．

∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），

∴直线CD的解析式为y=-x+c．

∵C，D，E三点在同一直线上，

∴1-c=-×（1-2c）+c，

∴2c2+3c-2=0，

∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=-2，

∴b=+c=-，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；

（3）①设点P坐标为（x，x2-x-2）．

∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），

∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x-2．

分两种情况：

（Ⅰ）当-1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB=AB•OC=5，

∴0＜S＜5；

（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．

∴点F坐标为（x，x-2），

∴PF=PG-GF=-（x2-x-2）+（x-2）=-x2+2x，

∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（-x2+2x）×4=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴当x=2时，S最大值=4，

∴0＜S≤4．

综上可知0＜S＜5；

②∵0＜S＜5，S为整数，

∴S=1，2，3，4．

分两种情况：

（Ⅰ）当-1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．

∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），

∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，

∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC=．

∵S=BC•h，

∴h=S．

如果S=1，那么h=×1=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

如果S=2，那么h=×2=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

如果S=3，那么h=×3=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

如果S=4，那么h=×4=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；

即当-1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；

（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=-x2+4x．

如果S=1，那么-x2+4x=1，即x2-4x+1=0，

∵△=16-4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；

如果S=2，那么-x2+4x=2，即x2-4x+2=0，

∵△=16-8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；

如果S=3，那么-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

∵△=16-12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；

如果S=4，那么-x2+4x=4，即x2-4x+4=0，

∵△=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；

即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；

综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．

考点：二次函数综合题．