Question

如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．

（Ⅰ）线段AB与AC的数量关系是               ，位置关系是               ．

（Ⅱ）当t=2时，求CF的长；

（Ⅲ）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；

（Ⅳ）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer

（1）AB=2AC，AB⊥AC；（2）1;（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与AC的关系；

（Ⅱ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=OA=t，由此求出CF的值；

（Ⅲ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；

（Ⅳ）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t=8时．

试题解析：（Ⅰ）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，

∵AB=2AC，∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．

（2）由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF=OA=t．

当t=2时，CF=1；

（Ⅲ）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴，

∴AF=OB=2，∴FD=AF=2，．

∵点C落在线段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴，

即，

整理 得t2+4t-16=0

解得 t=2-2或t=-2-2（不合题意，舍去）

∴当t=2-2时，点C落在线段BD上．

此时，CF=t=-1，

OF=t+2=2，

∴点C的坐标为（2，-1+）；

（Ⅳ）①当0＜t≤8时，如题图1所示：

S=BE•CE=（t+2）•（4-t）=-t2+t+4；

②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=t-4

S=BE•CE=（t+2）•（t-4）=t2-t-4；

③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．

考点：相似形综合题．