Question

如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FC和FG的长．

Answer

（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，（2）1，.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；

（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

试题解析：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，

∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D

又∠B=∠A=∠DME=α

∴∠AMF=∠BGM，

∴△AMF∽△BGM，

（2）连接FG，

由（1）知，△AMF∽△BGM，

，

BG=

∠α=45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∵M是线段AB中点，

∴AB=4，AM=BM=2，

AC=BC=4，CF=AC-AF=1，

CG=4-=，

∴由勾股定理得FG=

考点：相似三角形的判定．