Question

抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．

其中正确结论的个数为（  ）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

Answer

C.

【解析】

试题分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．

试题解析：∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2-4ac＞0，所以①错误；

∵顶点为D（-1，2），

∴抛物线的对称轴为直线x=-1，

∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，

∴当x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，所以②正确；

∵抛物线的顶点为D（-1，2），

∴a-b+c=2，

∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，

∴b=2a，

∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；

∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，

即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．

故选：C．

考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．