Question

（本题满分12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（提示：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30⁰）

（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）①由四边形ABCD是矩形可得∠C=∠D=90°，根据互余可得∠APD=∠POC，所以△OCP∽△PDA，②根据△OCP∽△PDA可求出CP=4，BC=8，设OP=x，在Rt△PCO中，由勾股定理可得x=5，从而AB=AP=2OP=10；（2）因为∠D=90°，=，所以根据性质：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为300可得∠DAP=30°，又∠PAO=∠BAO，所以∠OAB=30°；（ 3）作MQ∥AN，交PB于点Q，可证得△MFQ≌△NFB，所以QF=BF，然后可得EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，而PB==4，所以EF=PB=2．

试题解析：（1）如图1，

①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴====．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴边AB的长为10．

（2）如图1，

∵P是CD边的中点，

∴DP=DC．

∵DC=AB，AB=AP，

∴DP=AP．

∵∠D=90°，

∴=．

∴∠DAP=30°．

∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，

∴∠OAB=30°．

∴∠OAB的度数为30°．

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

．

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的结论可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB==4．

∴EF=PB=2．

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．

考点：1．矩形的性质；2．相似三角形的判定与性质；3．直角三角形的性质；4．全等三角形的判定与性质．