Question

（本题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴 于A、B两点，交y轴C、D于两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于点G，若A点的坐标为（－2，0），CD=8

（1）求⊙M的半径 

（2）求AE的长

（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值：若不变，请说明变化规律

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）连结CM，则AB CD,所以OC=0D=4，设⊙M的半径为r，A点的坐标为（－2，0），所以OM=r-2，在Rt△OCM中，根据勾股定理可得r=5；（2）因为AB CD,所以弧AC=弧AD,又C为弧AE的中点，所以可证弧CD=弧AE，所以AE=CD=8;（3）连结AM，利用△MOD∽△MDP, △MOD∽△DOP可得OP=，然后分三种情况讨论：点F与点A重合，点F与点B重合，点F与点A、B都不重合，可求出．

试题解析：（1）连结CM，则AB CD,所以OC=0D=4，设⊙M的半径为r，A点的坐标为（－2，0），所以OM=r-2，在Rt△OCM中，，所以r=5；（2）因为AB CD,所以弧AC=弧AD,又C为弧AE的中点，所以弧CD=弧AE，所以AE=CD=8;（3）如图2，连结AM，则DM PD, DO PM,所以△MOD∽△MDP, △MOD∽△DOP ,所以，所以，所以OP=，然后分三种情况讨论：点F与点A重合时，,点F与点B重合时，，点F与点A、B都不重合时，，所以，因为∠AMF=∠MPF,所以△MFO∽△MPF,所以．综上所述的值不变，值为．

考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．