Question

（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）连结OD, 根据∠A=2∠1结合其它条件可证明OD⊥DC，可得AC是⊙O的切线；（2）根据∠A=60°，可得∠C=30°，∠DOC=60°，而OD=2，所以CD= OD=2 , 阴影部分的面积=Rt△DOC的面积-扇形DOE的面积，代入数值计算即可．

试题解析：（1）证明：连结OD,∵OD=OB， ∴∠1=∠ODB， ∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1， 而∠A=2∠1， ∴∠DOC=∠A,∵∠A+∠C=90°， ∴∠DOC+∠C=90°， ∴OD⊥DC， ∴AC是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵∠A=60°， ∴∠C=30°，∠DOC=60°， 在Rt△DOC中，OD=2， ∴CD= OD=2 , 所以阴影部分的面积=Rt△DOC的面积-扇形DOE的面积=×2×2 - =2-．

考点：1．切线的的判定；2．解直角三角形；3．扇形的面积计算．