Question

如图1，矩形OABC的顶点A、B在抛物线上，OC在轴上，且.

（1）求抛物线的解析式及抛物线的对称轴.

（2）如图2，边长为的正方形ABCD的边CD在轴上，A、B两点在抛物线上，请用含的代数式表示点B的坐标,并求出正方形边长的值.

Answer

（1） y=x2-2x-3；x=1．（2） 点B的坐标为（a+1，-a），正方形边长a=2-2．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质，可得出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线y=x2+bx-3可得出b的值，继而得出抛物线的解析式及抛物线的对称轴；

（2）由（1）中求得的解析式，可得出对称轴，从而可得OM=1，CM=a，BC=a，得出点B的坐标后代入抛物线解析式，可得a的值．

试题解析：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，OC=2，B在第四象限，

∴点B的坐标为（2，-3），

把B点代入y=x2+bx-3，得22+2b-3=-3，

解得：b=-2，

∴y=x2-2x-3；

对称轴：x=-=1，即直线：x=1．

（2）由（1）得OM=1，

由抛物线的对称性，可得：CM=a，

又∵BC=a，

∴点B的坐标为（a+1，-a），

把B点代入函数得：（a+1）2-2（a+1）-3=-a，

解得：a1=-2-2＜0（舍去），a2=2-2，

故边长a=2-2．

综上可得点B的坐标为（a+1，-a），正方形边长a=2-2．

考点：二次函数综合题．