Question

已知关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0（k≠）。

（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）若二次函数y= kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值。

Answer

（1）证明见解析；（2）整数k为±1．

【解析】

试题分析：（1）先计算判别式得值得到△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先由求根公式得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=-，x2=-3，则二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-和-3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．

试题解析：（1）证明：△=（3k+1）2-4k×3

=（3k-1）2，

∵（3k-1）2，≥0，

∴△≥0，

∴无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）【解析】
kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）

x=，

x1=-，x2=-3，

所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-和-3，

根据题意得-为整数，

所以整数k为±1．

考点：1.根的判别式；2.抛物线与x轴的交点．