Question

如图，已知直线分别交轴、轴于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点C是抛物线与轴的另一个交点（与A点不重合）

（1）求抛物线的解析式;

（2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标。

Answer

(1) y=x2+2x-3．(2)6.（3）共存在4个点M1（-1，），M2（-1，-），M3（-1，0），M4（-1，-1）使△ABM为等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；

（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；

（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（-1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．

试题解析：（1）∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，

∴可得A（1，0），B（0，-3），

把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：

，

解得：b=2, c=-3．

∴抛物线解析式为：y=x2+2x-3．

（2）令y=0得：0=x2+2x-3，

解得：x1=1，x2=-3，

则C点坐标为：（-3，0），AC=4，

故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．

（3）存在，理由如下：

抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意：

讨论：

①当MA=AB时，

∵OA=1，OB=3，

∴AB=，

，

解得：m=±，

∴M1（-1，），M2（-1，-）；

②当MB=BA时，，

解得：M3=0，M4=-6，

∴M3（-1，0），M4（-1，-6）（不合题意舍去），

③当MB=MA时，，

解得：m=-1，

∴M5（-1，-1），

答：共存在4个点M1（-1，），M2（-1，-），M3（-1，0），M4（-1，-1）使△ABM为等腰三角形．

考点：二次函数综合题．