Question

（本题12分））如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）直线AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据图形猜想：AC是⊙O的切线，连结OC只要证明OC⊥AC即可；（2）设OC与BD交于点M．根据条件可证△CDM≌△OBM，然后阴影部分的面积可转化为扇形COB的面积.

试题解析：（1） AC是⊙O的切线； 1分

证明：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．

∠COB=2∠CDB=2×30°=60°， 3分

∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°， 4分

∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，

∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线； 6分

（2）【解析】
∵AC∥BD，OC⊥AC ∴OC⊥BD． 8分

由垂径定理可知，MD=MB=BD=．

在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=6．

在△CDM与△OBM中，

∴△CDM≌△OBM

∴S△CDM=S△OBM 10分

∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）． 12分

考点：1.切线的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.扇形的面积.