Question

（本题10分）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为

△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）把x=﹣1代入方程化简可得a=b，所以△ABC是等腰三角形；（2）如果方程有两个相等的实数根，则△=0，然后化简可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形；（3）如果△ABC是等边三角形，则a=b=c，代入方程，只留一个字母a，可得2ax2+2ax=0，所以x2+x=0，然后解方程即可.

试题解析：【解析】
（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形； 3分

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形； 7分

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1． 10分

考点：1.一元二次方程的根；2. 判断三角形的形状；3.根的判别式.