Question

题满分12分）在平面直角坐标系中，动点Ｐ到点S（1，），与过T点（0，）且平行于x轴的直线距离相等，设点P的坐标为（x，y）

（1）试求出y与x函数关系式；

（2）设点P运动到x轴上时为点A、B（点A在点B的左边），运动到最高点为点C；动动到y轴上时为点D；求出A、B、C、D四点的坐标；

（3）在（2）的条件下，为线段（点O为坐标原点）上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论： ① ②，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

Answer

（1）

（2）A B C（1，3）D （0，2）（4分）

（3）是正确的 （2分）证明：见解析 （3分）

【解析】

试题分析：（1）先根据题意画出图形，然后用x，y表示出线段的长，再利用勾股定理得出函数关系式y=-x2+2x+2；（2）令y=0，0=-x2+2x+2，解出x的值可得AB点的坐标，令x=0，则y=2，得点D坐标，将解析式配方可得点C的坐标；（3）∠GNM=∠CDM是正确的，根据条件可证△NGO≌△MDO，所以∠ONM=∠NMO=45°，过点D作DT⊥CP于T，所以∠CDT=∠DCT=45°，由DT∥AB，得∠TDM=∠DMO，从而∠GNM=∠CDM.

试题解析：（1）过点S作SD⊥ox，并反向延长SD交过T点的直线于B点，过点P作PA⊥AT，PC⊥BS．

∴CS=y-，CP=x-1，AP=．

∴在Rt△SCP中SP=．

又∵SP=AP

=，

∴y=-x2+2x+2；

（2）令y=0得0=-x2+2x+2．

解得x1=（-1-，x2=（-1+）．

∴A（-1-，0）B（-1+，0）．

把y=-x2+2x+2配方得：y=-（x-1）2+3，

∴C点的坐标为（1，3），

令x=0，y=2，

∴D点的坐标为D（0，2）．

∴A（1-，0），B（1+，0），C（1，3），D（0，2）；

（3）∠GNM=∠CDM是正确的．

证明：∵过A、B、C的抛物线解析式为y=-x2+2x+2；∴D（0，2），

∵G（-2，0），∴OG=OD，

由题意∠GON=∠DOM=90°，

又∵∠GNO=∠DNH，

∴∠NGO=∠MDO，

∴△NGO≌△MDO，

∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，

∴∠ONM=∠NMO=45°，

过点D作DT⊥CP于T；

∴DT=CT=1，

∴∠CDT=∠DCT=45°，

由题意可知DT∥AB，

∴∠TDM=∠DMO，

∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，

∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，

即：∠GNM=∠CDM．

考点：1.确定函数关系式；2.勾股定理；3.全等三角形的判定与性质；4.等腰直角三角形的判定与性质.