Question

（本题满分10分）Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30^o、60^o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△位置，直线与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想．

（3）在（2）的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形（不要求证明）.

Answer

（1）证明：（见解析） （4分）（2）证明：（见解析） （4分）（3） （2分）

【解析】

试题分析：（1）因为△ABC≌△FCB，所以AB=CF，AC=BF，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证；（2）要想证明OP=OQ，只需要根据条件证明△COQ≌△BOP即可；（3）根据对角线互相垂直的平行四边形的菱形进行分析即可．

试题解析：（1）证明：∵△ABC≌△FCB，∴AB=CF，AC=BF．∴四边形ABFC为平行四边形．（用其它判定方法也可）

（2）OP=OQ，

理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，∴△COQ≌△BOP，∴OQ=OP．（用平行四边形对称性证明也可）

（3）90°．理由：∵OP=OQ，OC=OB，∴四边形PCQB为平行四边形，∵BC⊥PQ，∴四边形PCQB为菱形．

考点：1.平行四边形的判定与性质；2.图形旋转的性质；3.菱形的判定.