Question

（12分）已知，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴正半轴上，边OA在y轴正半轴上，B点的坐标为（4，3）．将△AOC沿对角线AC所在的直线翻折，得到△AO’C，点O’为点O的对称点，CO’与AB相交于点E（如图①）．

（1）试说明：EA＝EC；

（2）求直线BO’的解析式；

（3）作直线OB（如图②），直线l平行于y轴，分别交x轴、直线OB、O’B于点P、M、N，设P点的横坐标为m （m>0）。y轴上是否存在点F，使得ΔFMN为等腰直角三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析； （2） （3）

【解析】

试题分析：（1）要想证EA＝EC，只需要证∠EAC=∠ACE即可，而由折叠的性质可得∠ACO=∠ACE，再根据矩形的性质可得∠EAC=∠ACO，可证；（2）先求得点O’的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可；

（3）用P点的横坐标为m表示出点M、N的坐标及线段MN的长度，然后分情况讨论解答即可.

试题解析：（1）由折叠得∠ACO=∠ACE，∵四边形OABC是矩形，∴AB∥CO，∴∠EAC=∠ACO，∴∠EAC=∠ACE，∴EA＝EC；

（2）由题意得点O’的坐标为（，），设函数关系式为

∵图象过点（，），（4，3）

，解得

∴函数关系式为①；

（3）∵B为（4，3），所以直线BO为②，∵l∥y轴，交x轴于P，P点的横坐标为m，∴P（m，0）（m＞0），∴直线l的解析式为x=m③，解②③得M（m，）；解①②得：N（m，- m+6），∴MN=|- m+6|，Ⅰ）当∠FMN=90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，），∴FM=MN，即：m=|- m+6|，解得：m=或m=12，Ⅱ）同理当∠FNM=90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，- m+6），∴FN=MN，即：m=|-m+6|，解得：m= 或m=12，Ⅲ）当∠MFN=90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，3），∴，,，而，所以，解得m=或m=-12（舍去）；综上可知存在使得△FMN为等腰直角三角形的点F，此时m的值为.

考点：1.待定系数法求函数解析式；2.等腰三角形的判定；3.折叠的性质；4.勾股定理.