Question

如图，等腰△中，，D是BC上一点，且．

（1）求证：△∽△；

（2）若，，求的长；

（3）若，求的度数．

Answer

(1)证明见解析；（2）4；（3）30°．

【解析】

试题分析：（1）由等边对等角，可得∠B=∠C，∠B=∠DAB，即可求得△ABC∽△DBA；

（2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长；

（3）由三角函数的性质，可求得∠B的值，即可求得∠C的值．

试题解析：（1）∵AB=AC，AD=BD，

∴∠B=∠C，∠B=∠DAB，

∴∠B=∠C=∠DAB，

∴△ABC∽△DBA；

（2）∵△ABC∽△DBA，

∴，

即，

∴BC=4；

（3）设AD=a，则BC=3a，BD=a，

作AH⊥BC于点H，则H为BC的中点，

∴DH=BH-BD=a-a=a，

在Rt△ADH中，cos∠ADH=，

∴∠ADH=60°，

∵∠B+∠BAD=∠ADH，∠B=∠BAD，

∴∠B=30°，

∴∠C=∠B=30°．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.解直角三角形．