Question

如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④=6+3；⑤S_△AOC+S_△AOB=6+．其中正确的结论是（  ）

A．①②③⑤    B．①②③④      C．②③④⑤     D．①②④⑤

Answer

A．

【解析】

试题分析：证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．

试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图①，连接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′=OB=4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A=5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故结论④错误；

如图②所示，

将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，

则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，

故结论⑤正确．

综上所述，正确的结论为：①②③⑤．

故选A．

考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的判定与性质；4.勾股定理的逆定理．