Question

如图，AC是⊙o的直径，PA切⊙o于点A，点B是⊙o上的-点，且∠BAC=30°，∠APB=60°。

（1）求证：PB是⊙o的切线；

（2）若⊙o的半径为2，求弦AB及PA、PB的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证．

（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．

试题解析：（1）证明：连接OB．

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠BAC=30°．

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．

∵PA切⊙O于点A，

∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．

∴OB⊥PB．

又∵点B是⊙O上的-点，

∴PB是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接OP；

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4，（6分）

∴PA=．

∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=

考点：切线的判定．