Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）y=-x2+x+2，（2）.（3）MC与⊙P的位置关系是相切．证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；

（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

试题解析：（1）连接PC，

∵A（4，0），B（-1，0），

∴AB=5，半径PC=PB=PA=，

∴OP=-1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC=

∴C（0，2），

设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），

∴a=-，

∴y=-（x-4）（x+1）=-x2+x+2，

（2）y=-x2+x+2=-（x-）2+，

M（，），

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，

把C（0，2），M（，）代入得：

解得：，

∴.

（3）MC与⊙P的位置关系是相切．

证明：设直线MC交x轴于D，

当y=0时，，

∴x=-，OD=，

∴D（-，0），

在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+（）2=，

PC2=（）2=，

PD2=（+-1）2=，

∴CD2+PC2=PD2，

∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，

∵PC为半径，

∴MC与⊙P的位置关系是相切．

考点：二次函数综合题