Question

如图，已知⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N 是 ⊙O上的两个动点，且在直线的异侧若∠AMB=,则四边形MANB面积的最大值是       。

Answer

4．

【解析】

试题分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．

试题解析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，

∵∠AMB=45°，

∴∠AOB=2∠AMB=90°，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=2，

∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，

∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，

即M点运动到D点，N点运动到E点，

此时四边形MANB面积的最大值= S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理．