Question

（本题满分10分）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．

（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）．

（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）过B作BM⊥AE于M．根据△BEM∽△FEB，可求出FG=10；（2）分别求出当0≤x≤4时，和当4＜x≤10时的函数关系式，令y=10，分别求出x的值即可；（3）当0≤x≤4时，，求出函数值的取值范围0≤y≤16．，当4＜x≤10时，y=－2x+24，求出函数值的取值范围4≤y＜16，然后比较可得.

试题解析：【解析】
（1）过B作BM⊥AE于M．由AB=BE=5，BC=4．∴CE=3．∴DE=2．∴．

由AB=BE，BM⊥AE，∴．∴．由△BEM∽△FEB，，∴FG=10． ..3分

（2）当0≤x≤4时，；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或． .6分

（3）当0≤x≤4时，，顶点为（10，25），∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等． ..10分

考点：1.勾股定理；2.相似三角形的判定与性质；3.分段函数.