Question

（本题12分）如图①所示，直线L：与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点。

（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

                                               

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，试说明MN=AM+BN。

（3）当取不同的值时，点B在轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交轴于P点，如图③。

问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

Answer

（1）y=x+5 （2）7 （3）

【解析】

试题分析：（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，根据OA=OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式；

（2）由OA=OB，对顶角相等，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；

（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．

试题解析： 【解析】
（1）∵直线L：y=mx+5m，

∴A（-5，0），B（0，5m），

由OA=OB，

得5m=5，m=1，

∴直线解析式为：y=x+5；

（2）在△AMO和△OBN中，

，

∴△AMO≌△ONB（AAS），

∴AM=ON=4，

∴BN=OM=3，

则MN=OM+ON=4+3=7；

（3）如图，作EK⊥y轴于K点，

∵△ABE为等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠ABE=90°，

∴∠EBK+∠ABO=90°，

∵∠EBK+∠BEK=90°，

∴∠ABO=∠BEK，

在△AOB和△BKE中，

，

∴△AOB≌△BKE（AAS），

∴OA=BK，EK=OB，

∵△OBF为等腰直角三角形，

∴OB=BF，

∴EK=BF，

在△EKP和△FBP中，

，

∴△PBF≌△PKE（AAS），

∴PK=PB，

∴PB=BK=OA=．

考点：一次函数的解析式，一次函数的图像与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质