Question

（本题10分）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．CM⊥AE,垂足是F, 交AD于N,交AB于M,连接ME。

     

（1）求证：ME⊥BC；    

（2）若AB=，试求ME的长。

Answer

（2）1

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据等腰三角形的性质可以得到要相等，在根据勾股定理得到斜边的长，然后根据等腰三角形的性质得出CE的长，从而求出BE,最终根据等腰三角形的性质求出结果.

试题解析：（1）∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠EAD

又∵∠BAC=90°,AD⊥BC

∴∠EAC=90°-∠BAE; ∠AED=90°-∠EAD

∴∠EAC=∠AED

∴AC=EC

∵CM⊥AE

∴∠ACM=∠ECM 又CM=CM

∴△ACM≌△ECM（SAS）

∴∠MEC=∠MAC=90°

即 ME⊥BC

（2）在Rt△ABC中,AB=AC=

∴BC=

又CE=AC=

∴BE=BC-CE=（）-（）=1

∵ME⊥BC, ∠B=45°

∴∠BME=∠B

∴ME=BE=1

考点：等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质