Question

（本题10分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）P（2，﹣）；（3）符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）

【解析】

试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入，得

解得：

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣； 3分

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，

∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

当x=2时，y=1﹣=﹣，

∴P（2，﹣）； 3分

（3）存在．

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），

∴N1（4，﹣）； 2分

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N作ND⊥x轴于点D，

在△AND与△MCO中，

∴△AND≌△MCO（ASA），

∴ND=OC=，即N点的纵坐标为．

∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2+或x=2﹣，

∴N2（2+，），N3（2﹣，）． 2分

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．

考点:二次函数的综合运用