Question

已知：如图，抛物线与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．

Answer

（1）；（2）9；（3）相似，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据A，B两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可将ABDE分割成几个规则的图形后再进行求解．可设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，那么四边形ABDE的面积=三角形AOB的面积+直角梯形BOFD的面积+三角形DFE的面积，根据抛物线的解析式可求得D、E两点的坐标，因此就可求出DF、OF、EF的长，根据A、B两点的坐标可得出OA、OB的长，那么求这些图形面积的相关线段的长就都已求出，从而可得出四边形ABDE的面积．

（3）可先根据B、D、E的坐标，求出BD、DE、BE的长，由于三角形AOB是直角三角形，要想判定两三角形是否相似，就要先判断三角形BDE是否为直角三角形，可根据BD、DE、BE三边的长以及勾股定理，来判断出三角形BDE是否为直角三角形，如果是直角三角形，那么找出三角形BDE中的直角，然后看夹直角的两组对应边是否成比例即可得出两三角形是否相似．

试题解析：（1）由已知得：，解得c=3，b=2，∴抛物线的线的解析式为；

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4），所以对称轴为x=1，A，E关于x=1对称，所以E（3，0），

设对称轴与x轴的交点为F，所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO·BO+（BO+DF）·OF+EF·DF=×1×3+（3+4）×1+×2×4=9；

（3）相似．如图，连接AB、BD、DE，过点D作DF⊥x轴于点F，过点B作BG⊥DF于点G．

BD=，BE=，

DE=，所以=20，即：，

所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，所以△AOB∽△DEB．

考点：二次函数综合题．