Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB²=AP•AD．

（1）求证：AB=AC；

（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）根据AB2=AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，从而由等角对等边证明结论；

（2）因为有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．

试题解析：（1）连接BP，∵AB2=AP•AD，∴，又∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，

∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；

（2）由（1）知AB=AC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，

∵P为的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，∴BP为直径，∴BP过圆心O，∴BP=2，∴AP=BP=1，∴，∵AB2=AP•AD，∴AD==3．

考点：1．圆周角定理；2．相似三角形的判定与性质．