Question

（14分）如图，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的切线，切点为C，连结AC.

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；

（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M．你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小.

Answer

（1）；（2）∠CMP的大小不发生变化，45°．

【解析】

试题分析：（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；

（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不发生变化．

试题解析：（1）连接OC，

∵AB=4，∴OC=2，∵PC为⊙O的切线，∠CPO=30°，∴PC=；

（2）∠CMP的大小没有变化．理由如下：

∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=∠COP（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠MPA=∠CPO（角平分线的性质），∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．

考点：1．解直角三角形；2．切线的性质．