Question

（12分）（1）问题背景：如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）

结论：线段与的数量关系是 ______ （请直接写出结论）；

（2）类比探索：在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：在（2）中，如果，且（），其他条件均不变（如图3），请你直接写出与的数量关系．结论： _________ （用含的代数式表示）．

Answer

（1）；（2）仍然成立，证明过程略；（3）

【解析】

试题分析：（1）如图，分别延长、，交于.根据角平分线和垂直关系，由等腰三角形三线合一可得 .（也可通过证明三角形全等）又根据、两个直角以及，可证得≌，进而有，所以；（2）思路同（1），仍然通过两次证明三角形全等得到线段关系，第一次全等；（3）思路依然同（1），延长两线段交于一点后先证明≌，得到，再证明∽，且

，所以有.

试题解析：（1）；

（2）仍然成立，证明过程如下：分别延长、交于，平分

平分

≌

；

（3）

考点：（1）平面几何添加辅助线；（2）三角形全等的判定和性质；（3）三角形相似的判定和性质.