Question

（12分）在中， 分别为所对的边，我们称关于的一元二次方程为“的☆方程”.根据规定解答下列问题：

（1）“的☆方程”的根的情况是    （填序号）；①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根.

（2）如图，为⊙的直径，点为⊙上的一点，的平分线交⊙于点，

求“的☆方程”的解；

（3）若是“的☆方程”的一个根，其中均为正整数，且，求：①求的值；②求“的☆方程”的另一个根.

Answer

（1）②；（2）；（3）①；②

【解析】

试题分析：（1）判断一元二次方程根的情况的依据是根的判别式，因为为三角形三边，故恒成立，故原方程必有两个不等实根；（2）图中的关键信息是直径和角平分线，得到是等腰直角三角形后，适当设值代入即可求出方程的解；（3）根据方程根的定义将代入原方程，得到，再结合得出的确切值，进而求出的值，代入求方程的解.本小题中求的确切值是难点也是解题关键.

试题解析：（1）②；

（2）由图知，为直径 平分

和都是所对的圆周角

为等腰直角三角形

不妨设，，故原方程化为

解得

“的☆方程”的解为；

（3）①将代入原方程，得

且均为正整数 能被整除

② （不能构成三角形，舍）或

原方程为 解得 方程另一根为.

考点：1.一元二次方程根的判别式；2.圆的性质；3.一元二次方程与不等式.