Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）若AP=，求△PFA的面积

Answer

(1)证明见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）由正方形的性质就可以得出∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，就可以得出∠PAF=∠AEB，就可以得出△PFA∽△ABE；

（2）根据勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面积，由相似三角形的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，

∴∠DAE=∠AEB．

∵PF⊥AE，

∴∠AFP=90°，

∴∠AFP=∠B

∴△PFA∽△ABE

（2）∵E是BC边的中点，

∴BE=BC=2．

在Rt△ABE中，由勾股定理，得

AE=2．

∵△PFA∽△ABE，

∴．

∵S△ABE=，

∴

∴S△PFA=2．

答：△PFA的面积为2．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．