Question

（13分）如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．

（1）求证：DE=DC．

（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）DF=DG．

【解析】

试题分析：（1）利用院内接四边形的性质得到∠DEC=∠B，然后利用等角对等边得到结论．

（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．

试题解析：.（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED=180°，

∵∠DEC+∠AED=180°，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC；

（2）∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE=180°，∵∠EDC+∠BDE=180°，∴∠A=∠EDC，

∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠OEA=∠CEF，∴∠A=∠CEF，∴∠EDC=∠CEF，

∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°，即∠DEF+∠DCE=180°，

又∵∠DCG+∠DCE=180°，∴∠DEF=∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG，∴∠EDC=∠FDG，∴∠EDC﹣∠FDC=∠FDG﹣∠FDC，即∠EDF=∠CDG，∵DE=DC，∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF=DG．

考点：1．圆内接四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰三角形的性质．