Question

如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，n）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含n的代数式表示）；

（2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求n的值．

Answer

（1） 点D的坐标为（-2，4-n）．（2） m的值为或或．

【解析】

试题分析：（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB=2-m，AD=4-m，从而求解；

（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解．

试题解析：（1）由题意得CM=BM，

∵∠PMC=∠DMB，

∴Rt△PMC≌Rt△DMB，

∴DB=PC，

∴DB=2-n，AD=4-n，

∴点D的坐标为（-2，4-n）．

（2）分三种情况

①若AP=AD，则4+m2=（4-m）2，解得m=；

②若PD=PA

过P作PF⊥AB于点F（如图），

则AF=FD=AD=（4-m）

又∵OP=AF，

∴m=（4-m）则m=

③若PD=DA，

∵△PMC≌△DMB，

∴PM=PD=AD=（4-m），

∵PC2+CM2=PM2，

∴（2-m）2+1=（4-m）2，

解得m1=，m2=2（舍去）．

综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或．

考点：1.待定系数法求一次函数解析式；2.等腰三角形的性质．