Question

如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．

（1）说明 EO=FO．

（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．

（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？

Answer

【解析】
（1）∵MN∥BC，

∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，

∵CE，CF分别为∠BOC，∥GOC的角平分线，

∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，

∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，

∴OC=OE，OC=OF，

∴OE=OF，
（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，

理由：∵O点为AC的中点，

∴OA=OC，

∵OE=OF，OC=OE=OF，

∴OA=OC=OE=OF，

∴AC=EF，

∴四边形AECF是矩形，

（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，

理由：∵O点为AC的中点时，四边形AECF是矩形，

∴AC=EF，

∵AC⊥BC，MN∥BC，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；

（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；

（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．