Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF．

(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．

Answer

【解析】
(1)BD=CD．理由如下：

∵AF∥BC， AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∴AF=BD．

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE， ∠FAE=∠CDE，

又E是AD的中点，

∴AE=DE． ∴△AFE≌△DCE．

∴AF=CD． 又AF=BD，∴BD=CD．

(2) △ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC． ∴∠ADB=90°．

又四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．

【解析】

(1)先证四边形AFBD是平行四边形得AF=BD．再证△AFE≌△DCE得AF=CD．于是可得BD=CD．(2)由(1)知四边形AFBD是平行四边形，可添加一个条件“有一个角是直角”可得四边形AFBD是矩形．